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CNC系统中任意空间曲线的插补方法

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CNC系统中任意空间曲线的插补方法

作者：佚名文章来源：不详点击数：更新时间：2007-5-2212345

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在CNC机床上加工工件，无论是加工曲面还是曲线，加工过程的刀具中心轨迹都是曲线。传统的CNC机床只能加工简单的直线和圆弧等曲线，加工复杂的曲线需要在编程时转化为简单曲线。随着计算机技术的发展和机械零件复杂程度的提高，人们希望CNC机床能直接加工任意空间曲线。尤其样条曲线的发展，这种希望更迫切。本文运用数据采样时间分割法和泰勒(Taylor)公式，推导出一种任意参数曲线的等速进给实时插补算法。下面给以介绍。

1 参数曲线插补算法

一般曲线c可写成如下形式

c(u)={x(u),y(u),z(u)} uÎ[u₀,u_n]

(1)

u是任意参数，通常0≤u≤1。大多数CAD/CAM系统采用参数形式表示曲线。用参数描述曲线有以下优点：参数形式曲线对于控制多轴机床是非常方便的，每个轴可以单独驱动。另外，曲线上点的计算容易，这是由于x，y，z都是参数u的显函数，故易于计算。

CNC系统插补器的任务是在恒插补周期T(T是常数，一般为1～10ms)内计算输出一次由下式确定的进给弦长DL(u_k)在x，y，z轴上的坐标分量

DL(u_k={x(u_k+1)-x(u_k)，y(u_k+1)-y(u_k)，z(u_k+1)-z(u_k)}

k=1，2，…，n-1

(2)

CNC系统要求每次插补所形成的弦长相等，因此，实时插补方法不能建立在参数的等分上，而应建立在每个进给步长DL_k相等的基础上。现在的关键是推导出弦长相等的条件下相应的参数增量Du_k。以下是恒速进给实时插补算法的具体推导。

沿参数曲线的进给速度可按下式计算

V(u)=	ds	=(	ds	)(	du	)

	dt		du		dt

(3)

或	du	=	V

	dt		ds/du

(4)

其中s为曲线的自然参数即弧长，有

ds	=[(x')²+(y')²+(z')²]^½

dt

(5)

x'=	dx	y'=	dy	z'=	dz

	du		du		du

式(4)要求ds/du≠0，由式(5)知，即要求该曲线为正则曲线。

把式(5)代入式(4)，得

du	=	V

dt		(x'²+y'²+z'²)^½

(6)

花少量的时间计算式(6)的解是实时插补算法的关键，然而V为常值条件下的解u(t)一般难以求得。因此，不妨在t=kT处使用泰勒(Taylor)级数展开进行迭代求解。由泰勒公式得

(7)

最后一项为一阶泰勒公式的余项，是二阶无穷小量，对于插补计算可忽略不计。把式(6 )代入式( 7 ) ，忽略二阶余项，得

u_k+1=u_k+	VT

	(x'²+y'²+z'²)^½

(8)

由式(8 )确定u_k+1代入式(1 )和式(2 )即可计算出插补步长DL((u )_k)的各个坐标分量。该算法的优点就是保证插补点始终在曲线上，无累积误差，只有弓高误差。

2 最大插补步长和弓高误差的关系

由以上恒速实时插补算法推导可知，插补点始终在曲线上，无累积误差，因此弓高误差就是插补误差。弓高误差d受给定精度指标e的限制，即必须有d≤e。实际加工的弓高误差取决于插补步长DL_k 、曲线的曲率k和挠率t。k和t由下式决定。

(9)
(10)

由于插补步长很短，因此可将被插补弧看作半径为R_k的圆弧。这样的简化是偏安全的。R_k由下式决定

R_k=1/max(k(u_i),t(u_i)) (k,i=0,1,2,…n-1;u_k≤u_i≤u_k+1

(11)

那么，DL_k逼近曲线弧DC_k的弓高误差d_k如图1所图。图1中，DL_k和d_k之间的关系可表达为

DL_k=2(2R_kd_k-d_k²)^½

(12)

图1 弓高与步长的关系

若对任意t∈[0,1] ，要求插补器输出由式(2 )给定的 DL_k逼近对应的曲线弧DC_k时，弓高误差对所有k均有d_k≤e，则最大插补步长可表示为

DL_max=2(2Re-e²)^½

(13)

式(13 )中R由下式决定

R=1/max[max(k(u)),max(t(u))] u∈[u₀,u_n]

(14)

式(14 )可由参数方程(1)代入式(9 )、式(10 ) ，分别用普通函数求最大值的方法得到。

3 结束语

本文介绍的插补方法能用在所有以参数方程表示的任意空间曲线上。这些曲线可包括B样条等所有样条曲线。计算的复杂程度也不是很高，一般带浮点运算器的计算机都能胜任，加之插补时间固定，能很好地满足控制系统对实时性的要求。

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